第九章数项级数

1. 级数的基本性质

级数收敛的必要条件: \(\lim_{n \to \infty}{x_n}=0 \).
收敛级数的线性性 => 对收敛级数可以进行加法和数乘运算. 满足加法结合律.

极限点: 在有界数列 \(\{x_n\}\) 中若存在一个子列满足 \(\lim_{k\to \infty}{x_{n_k}}=\chi \), 则称 χ 为 \(\{x_n\}\) 的一个极限点.

记 \( E=\{\chi\}\), 有:

\begin{align*} \sup E &= \max E = H \\ \inf E &= \min E = h \end{align*}

即 \( E \) 的上下确界均属于 \( E \).

故有: 上极限 \(\bar{\lim_{n \to \infty} }x_n = H\); 下极限 \(\underline{\lim_{n \to \infty} }x_n = h\).

设 \(\{x_n\}\) 为有界数列. 则其收敛的充分必要条件为: 上极限等于下极限.

上下极限的运算 不满足 四则运算法则.

2. 正项级数

正项级数 :: 级数 \(\sum_{n=1}^\infty x_n\) 的通项 \(\{x_n\} \geq 0\) 恒成立.

正项级数的拓展: 只存在有限个通项 \(\leq 0\). 即 \(\exists N \in N^+\), \(\forall n > N\), \(\{x_n\}\geq 0\) 恒成立.

单调递增数列有上界必收敛,可得正项级数的收敛原理:

正项级数收敛 <=> 其部分和数列 \(\{S_n\}\) 有上界.

2.1. 比较判别法

设 \(\sum_{n=1}^\infty x_n \) 与 \(\sum_{n=1}^\infty y_n \) 是两个正项级数. 若 \(\exists A \in R^+\), 使得 \(x_n\leq Ay_n\),则

\[ \begin{cases} \sum_{n=1}^{\infty} y_{n} \text { convergent } &\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} \text { convergent } \\ \sum_{n=1}^{\infty} x_{n} \text { divergent } &\Rightarrow \sum_{n=1}^{\infty} y_{n} \text { divergent } \end{cases}. \]

即:大收小收，小散大散

条件可拓展为: \(\exists N \in N^+, A\in R^+, \forall n >N\), 满足 \(x_n\leq A y_{n}\).

推论: 比较判别法的极限形式: 设 \(\sum_{n=1}^\infty x_n \) 与 \(\sum_{n=1}^\infty y_n \) 是两个正项级数, 且 \(\lim_{n \to \infty} {x_n}/{y_n} =l \in [0, \infty] \)

当 \( l \) 值域不取到正无穷时, \(\sum_{n=1}^\infty x_n \) 随 \(\sum_{n=1}^\infty y_n\) 收敛;
当 \( l \) 值域不取到 0 时, \(\sum_{n=1}^\infty y_n \) 随 \(\sum_{n=1}^\infty x_n\) 发散;
显然当 \(l \in (0, \infty)\) 时, 两正项数列同步收敛发散.

2.2. Cauchy 判别法

设 \(\sum_{n=1}^\infty x_n \) 为正项级数, \(r= \bar{\lim_{n \to \infty} } \sqrt[n]{x_{n}}\), 则

r < 1 => \(\sum_{n=1}^\infty x_n \)收敛;
r > 1 => \(\sum_{n=1}^\infty x_n \) 发散;
r = 1 => Cauchy 判别法失效.

2.3. d'Alembert 判别法

设 \(\sum_{n=1}^\infty x_n \) 为正项级数; \(r_1= \bar{\lim_{n \to \infty} }{x_{n+1}/x_n}, r_2=\underline{\lim_{n \to \infty} }{x_{n+1}/x_n}\); 则:

\(r_1<1\) => 数列收敛;
\(r_2>1\) => 数列发散;
\(r_1\geq 1\) 或 \(r_2\leq 1\) => d'Alembert 判别法失效.

特别地, 当 Cauchy 判别法和 d'Alembert 判别结果为 \(\\sum_{n=1}^\infty x_n \) 发散时, 有: \(\lim_{n \to \infty} x_n \ne 0 \) 成立.

2.4. Rabee 判别法:

设\(\sum_{n=1}^\infty x_n \) 为正项级数, \(\lim_{n \to \infty}{n(x_n/x_{n+1} - 1)}=r \). r > 1 => 数列收敛; r < 1 => 数列发散; r = 1 => 判别法失效.

以上定理只能应用于正项级数(及其扩充)

3. 任意项级数的判别方法.

3.1. 级数的 Cauchy 收敛原理

对级数应用数列的 Cauchy 收敛原理. \(\sum_{n=1}^\infty x_n \) 收敛等价于:

\(\forall \varepsilon >0, \exists N \in N^+, \forall m>n>N\), 满足: \[ \left| \sum_{k=1}^m x_k - \sum_{k=1}^n x_k \right| = \left| \sum_{k=n+1}^m x_k \right| < \varepsilon. \] 这等价于:

\(\forall \varepsilon >0, \exists N \in N^+, \forall n > N, p \in N^+\), 满足: \[ \left| \sum_{k=1}^p x_{n+k} \right|< \varepsilon \].

3.2. Leibiniz 级数

Leibiniz 级数: \(\sum_{n=1}^\infty {(-1)^{n+1} u_n} \) 满足 \(u_n > 0\), \(\{u_n\}\) 单减且 \(\lim_{n \to \infty}{u_n} = 0 \).

Leibiniz 级数必收敛.

3.3. Abel 与 Dirichlet 判别

设数列 \(\sum_{n=1}^\infty {a_n b_n} \) 满足 \(\{a_n\}\) 单调有界, \(\{\sum_{i=1}^n b_i\}\) 有界.

Abel 判别: \(\{a_n\}\) 单调有界, \(\sum_{n=1}^\infty b_n \) 收敛 => 数列收敛
Dirchlet 判别: \(\{a_n\}\) 单调趋于零, 数列 \(\{ \sum_{i=1}^n b_i\}\) 有界 => 数列收敛.

4. 绝对收敛与条件收敛

\( \sum_{n=1}^\infty |x_n|\) 收敛 => \( \sum_{n=1}^\infty x_n \) 收敛.

一般来说, \( \sum_{n=1}^\infty |x_n|\) 发散不能推出 \( \sum_{n=1}^\infty x_n \) 发散. 但若由 Cauchy 判别或者 d'Alembert 判别得出 \( \sum_{n=1}^\infty |x_n|\) 发散, 则\( \sum_{n=1}^\infty x_n \) 发散, 因为此时 \( \lim_{n \to \infty} x_n \ne 0 \)

5. Stirling 公式 (阶乘的等价量)

\[ n! \approx \sqrt{2\pi}n^{n+1/2}e^{-n},\ n\rightarrow +\infty. \]

第九章 数项级数

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